四年级数学思维训练:统筹与对策
小学数学考试
考试时间:
分钟
满分:
140 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、解答题(共28题,共140分)
1、 有47位小朋友,老师要给每人发一支红笔和一支蓝笔.商店中每种笔都是5支一包或3支一包,不能打开包零售.5支一包的红笔61元,蓝笔70元,3支一包的红笔40元,蓝笔47元.则老师买所需的笔最少要花几元? 2、 如图,五角星上共有10个交点和15条小线段.甲首先将一枚棋子放在A点上,并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上,之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上,之后甲再走,…,如此下去.如果要求每条小线段都不能重复经过,并且轮到某人无路可走时便判其失败,那么甲是否有必胜策略? 3、 甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件,加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟.三人同时开始工作.问:经过合理分工,最少经过多少分钟可以车完全部零件? 4、 有9根火柴,甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1根或者2根火柴,以取走最后一根火柴的人为胜者.试问:如果甲先取,谁有必胜的策略? 5、 2008个小方格从左到右排成一行,甲、乙两人轮流在空格内放棋子,每人每次放一枚.规定如下:每个空格至多放一枚棋子;当甲放好一枚棋子后,乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放;而当乙放好棋子后,甲必须隔一个位子放;谁放不了就判谁输.如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子,谁将有必胜策略? 6、 如图,一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库.A仓库存盐40吨,B仓库存盐5吨,C仓库存盐35吨,D仓库没有盐.现在要调整存放数量,计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨.已知每吨盐运l千米需要运费2元.试问:为完成上述调运计划,最少需要多少元运费?(图16﹣2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数,单位为千米) 7、 如图的方格屏幕上,每个小方格的边长是1厘米,一条贪吃蛇从左下角出发,沿着格线爬行,如果它想吃掉图中的3个“★”,最少要爬多远?请画出路线. 8、 妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟,洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟.小明估算了一下,完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了? 9、 如图,一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校,分别有200人、300 人、400人、500人、600人.任意相邻的两所学校之间的距离都是100米,现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站,要使所有人到达车站的距离之和最小,车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少? 10、 甲、乙两人轮流报数,每人都只能报2、3、5、7中的一个,把两人报的数累加.如果某个人报完数后,累加的和第一次为三位数,那么这个人就获胜.请问:谁有必胜策略? 11、 冬冬中午要炒一个菜,煮一锅饭,烧一壶水.用煤气炉炒菜每道工序的时间如下:切菜4分钟,准备佐料4分钟,烧热锅2分钟,烧热油2分钟,炒菜4分钟.用煤气炉烧水每道工序的时间如下:洗水壶2分钟,用火烧水15分钟,把开水灌到热水瓶中需要2分钟.用电饭锅煮饭每道工序的时间如下:淘米4分钟,煮饭18分钟.冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶.请问:冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟? 12、 把一枚棋子放在图中左下角的方格内,甲、乙两人玩这样一个游戏:双方轮流移动棋子,只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动,一次可以移动任意多格.谁把棋子移到了右上角的方格中即为输,试问:如果甲先走,是否有必胜的策略,为什么? 13、 有十个村,座落大县城出发的一条公路上(如图,距离单位是千米),要安装水管,从县城送自来水供给各村,可以用粗细两种水管,粗管足够供应所有各村 用水,细管只能供一个村用水,粗管每千米要用8000元,细管每千米要用2000元,把粗管和细管适当搭配、互相连接,可以降低工程的总费用,按你认为最 节约的办法,费用应是多少? 14、 如图是某县的道路分布图.小唐要驾车从县城出发,经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次,并且最后回到县城.已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数,那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟? 15、 如图,方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜.请问:谁有必胜策略,策略是什么?如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步,结果又如何呢? 16、 北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台,这些车床准备分配给武汉11台、西安5台,每台车床的运费如图所示,单位为百元.那么总运费最少是多少元?
17、 如图是一张道路图,每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数.问:小悦从A出发走到B最快需要多少分钟? 18、 小杂货店里有一位售货员卖货,同时来了A、B、C、D、E五个顾客.A买糖果需要2分钟;B买大米需要6分钟;C买香烟和啤酒需要4分钟;D买水果需要3分钟;E买蔬菜需要5分钟.请问:售货员应该如何安排五个人的顺序,使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时间是多少?(只计算每个人排队的时间,不计算买东西的时间.) 19、 小悦中午做烧豆腐,共需要七道工序,每道工序的时间如下:切豆腐2分钟,切肉片2分钟,准备葱姜蒜3分钟,准备佐料1分钟,烧热锅2分钟,烧热油2分钟,炒菜4分钟.那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟? 20、 甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币.规则是:每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜.如果甲先放,那么他怎样放才能取胜? 21、 黑板上写有l,2,3,4,5,…,2009这些自然数,甲先乙后,两人轮流擦去一个自然数.如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同,那么甲就胜,否则乙胜.请问:谁有必胜的策略,具体的策略是怎样的? 22、 有100根火柴,甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴,谁取到最后一根火柴谁输.甲先取.问:谁有必胜的策略? 23、 甲、乙两人玩一个游戏:有两堆小球,甲、乙两人轮流从中取球,每次只能从同一堆中取,个数不为零即可,规定取到最后一个球的人赢,现在甲先取球. (1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个,那么谁有必胜策略?请说明理由; (2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个,那么谁有必胜策略?请说明理由; (3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个,那么谁有必胜策略?请说明理由. 24、 现有2008根火柴,甲、乙两个人轮流从中取出火柴.每次最少从中取出2根,最多取出4根.谁无法再次取出火柴谁就赢.如果甲先取,请问谁有必胜的策略? 25、 有12枚棋子,甲、乙两人轮流取,规定每次至少取1枚,最多取3枚,以取走最后一枚棋子者为胜者.如果甲先取,那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者,并且仍然是甲先取,那么谁有必胜策略? 26、 甲拿若干枚黑棋子,乙拿若干枚白棋子,他们轮流向如图的3×3的方格中放棋子,每次放1枚,谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可),谁就获胜.如果甲首先占据了中问位置,乙要想不败,第1枚棋子应该放在哪里? 27、 西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的,不拆开零售.已知5个一袋的售价是8元,3个一袋的售价是5元,要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱? 28、 理发店里同时来了A、B、C三个顾客,A理板寸需要7分钟,B理光头需要10分钟,C烫卷发需要40分钟.请问:如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少? |
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四年级数学思维训练:统筹与对策
1、
有47位小朋友,老师要给每人发一支红笔和一支蓝笔.商店中每种笔都是5支一包或3支一包,不能打开包零售.5支一包的红笔61元,蓝笔70元,3支一包的红笔40元,蓝笔47元.则老师买所需的笔最少要花几元?
1264元.
试题分析:因为红笔61÷5<40÷3,蓝笔70÷5<47÷3.所以都要尽量多买5支1包的才能更节省钱,其次尽量的买的支数正好够分,剩余的数量尽量的少;由此找出方案进行讨论求解.
解:因为红笔61÷5<40÷3,蓝笔70÷5<47÷3.所以都要尽量多买5支1包的才能更节省钱.
方案一:5支包的买7包,3支包的买4包;
方案二:5支包的买9包,3支包的买1包(多1支).
买红笔用第一种方案省钱,要67×7+40×4=587(元);
蓝笔用第2种方案省钱,只需:70×9+47×1=677(元).
老师买所买的笔至少花:
587+677=1264(元).
答:老师买所需的笔最少要花1264元.
2、
如图,五角星上共有10个交点和15条小线段.甲首先将一枚棋子放在A点上,并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上,之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上,之后甲再走,…,如此下去.如果要求每条小线段都不能重复经过,并且轮到某人无路可走时便判其失败,那么甲是否有必胜策略?
乙必胜.
试题分析:甲没有必胜策略,且乙必胜,甲只能由角上的点走到中间,乙再走回角上的5个点.
解:乙必胜,甲只能由角上的点走到中间,乙再走回角上的5个点,如图所示:
3、
甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件,加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟.三人同时开始工作.问:经过合理分工,最少经过多少分钟可以车完全部零件?
17分钟
试题分析:加工完七个零件最少需多长时间,也就是要求三人加工完七个零件用的时间最少.甲乙二人同时加工用时9分钟的零件,丙也同时加工用时8分钟的零件;丙加工完后接着加工用时5分钟的零件,甲乙加工完接着加工用时6分钟的零件;这时丙用时8+5=13分钟,甲乙用时9+6=15分钟.那么还剩余一个用时4分钟的零件,这个零件应该有丙来完成(因为这时甲乙还未完成).所以丙用的总时间:13+4=17分钟,也就是加工完七个零件最少需要的时间.
解:甲乙二人同时加工用时9分钟的零件,丙也同时加工用时8分钟的零件;
丙加工完后接着加工用时5分钟的零件,甲乙加工完接着加工用时6分钟的零件;
这时丙用时8+5=13分钟,甲乙用时9+6=15分钟.
那么还剩余一个用时4分钟的零件,这个零件应该有丙来完成(因为这时甲乙还未完成).
所以丙用的总时间:13+4=17分钟,也就是加工完七个零件最少需要的时间.(其它情况都大于17分钟).
答:最少经过17分钟可以车完全部零件.
4、
有9根火柴,甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1根或者2根火柴,以取走最后一根火柴的人为胜者.试问:如果甲先取,谁有必胜的策略?
乙
试题分析:因为规定每次可以取1根或者2根火柴,所以一定能保证两人所拿火柴数量之和是3,故此,甲先拿,只要乙拿到的火柴与甲拿到的火柴和是3,那么乙又必胜的策略.
解:9÷(1+2)
=9÷3
=3
答:因为规定每次可以取1根或者2根火柴,如果甲先取,那么甲拿几根,只要乙保证拿到的火柴与甲拿到的火柴和是3,那么乙有必胜的策略.
5、
2008个小方格从左到右排成一行,甲、乙两人轮流在空格内放棋子,每人每次放一枚.规定如下:每个空格至多放一枚棋子;当甲放好一枚棋子后,乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放;而当乙放好棋子后,甲必须隔一个位子放;谁放不了就判谁输.如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子,谁将有必胜策略?
乙有必胜的把握.
试题分析:因为甲、乙两人轮流在空格内放棋子,每人每次放一枚.规定如下:每个空格至多放一枚棋子;当甲放好一枚棋子后,乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放;而当乙放好棋子后,甲必须隔一个位子放;
解:根据条件可知:
甲所放的棋子有很大的受限,
从左边数的第二个格子,甲不能放,那么乙先空着,
所以最后乙可以放在左数第二个格子里,而甲无处可放,
故此乙有必胜的把握.
6、
如图,一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库.A仓库存盐40吨,B仓库存盐5吨,C仓库存盐35吨,D仓库没有盐.现在要调整存放数量,计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨.已知每吨盐运l千米需要运费2元.试问:为完成上述调运计划,最少需要多少元运费?(图16﹣2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数,单位为千米)
700元.
试题分析:就近输送,把A仓库多出的20吨盐向下行10千米存到D仓库,把C仓库多出的15吨盐向上行10千米存到B仓库,需要的运费最少,是20×10×2+15×10×2,即可得解.
解:就近输送,把A仓库多出的20吨盐向下行10千米存到D仓库,
把C仓库多出的15吨盐向上行10千米存到B仓库,
需要的运费最少,是:
20×10×2+15×10×2
=400+300
=700(元)
答:完成上述调运计划,最少需要700元运费.
7、
如图的方格屏幕上,每个小方格的边长是1厘米,一条贪吃蛇从左下角出发,沿着格线爬行,如果它想吃掉图中的3个“★”,最少要爬多远?请画出路线.
最少要爬8厘米.如图,
试题分析:由近及远,首先向上走一格,吃掉最左边的,然后向右走两格,向下走1格,吃掉中间的第二个,然后向右1格,再向上3格,吃掉最后一个,共爬行8厘米,即可得解.
解:如图,
答:最少要爬8厘米.
8、
妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟,洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟.小明估算了一下,完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了?
16分钟
试题分析:在这道题里,最合理的安排应该最省时间:先洗开水壶,接着烧开水,烧上水以后,小明需要等15分钟,在这段时间里,他可以洗茶壶,洗茶杯,拿茶叶,水开了就沏茶,这样只用16分钟.
解:先洗开水壶,接着烧开水,烧上水以后,小明需要等15分钟,
在这段时间里,他可以洗茶壶,洗茶杯,拿茶叶,水开了就沏茶,这样只用:1+15=16(分钟).
答:16分钟就能沏茶了.
9、
如图,一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校,分别有200人、300 人、400人、500人、600人.任意相邻的两所学校之间的距离都是100米,现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站,要使所有人到达车站的距离之和最小,车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少?
车站应该建在D学校,最短为220000米.
试题分析:站点最好设在人数比较多的学校门口,即学校E的门口,但其处在路的末端,所以不合理,只能选中间C、D两个学校,然后计算距离即可作出判断.
解:站点设在C门口,
200×200+300×100+500×100+600×200
=40000+30000+50000+120000
=240000(米)
站点设在D学校的门口,
200×300+300×200+400×100+600×100
=60000+60000+40000+60000
=220000(米)
因为240000米>220000米,
所以车站应该建在D学校,最短为220000米.
10、
甲、乙两人轮流报数,每人都只能报2、3、5、7中的一个,把两人报的数累加.如果某个人报完数后,累加的和第一次为三位数,那么这个人就获胜.请问:谁有必胜策略?
甲.
试题分析:根据游戏规则得出谁报数后使和为最小的三位数100,谁第一个报大于或等于100,谁就获胜,进而分析得出,谁先报2,谁就获胜.于是得出先报者的取胜对策为:甲首先报数,甲有必胜策略,甲要抢占到92,首先报2,之后与乙配对和为5或10即可.
解:甲有必胜策略,甲要抢占到92,甲首先报2,之后与乙配对和为5或10即可,即乙选7,则跟着选3,若乙选5,则甲跟着选5,若乙选2,则甲选3…一定甲首先报92,乙即使报最大的数7,加上92,只是99,甲然后报四个中任意一个都可获胜;则甲必胜.
11、
冬冬中午要炒一个菜,煮一锅饭,烧一壶水.用煤气炉炒菜每道工序的时间如下:切菜4分钟,准备佐料4分钟,烧热锅2分钟,烧热油2分钟,炒菜4分钟.用煤气炉烧水每道工序的时间如下:洗水壶2分钟,用火烧水15分钟,把开水灌到热水瓶中需要2分钟.用电饭锅煮饭每道工序的时间如下:淘米4分钟,煮饭18分钟.冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶.请问:冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟?
25分钟.
试题分析:因为只有一个煤气炉,所以可以先洗水壶,需要2分钟,然后烧水需要15分钟,在烧水的15分钟内,可以同时淘米4分钟,淘米后,烧水还需要15﹣4=11分钟,同时用电饭锅煮饭需要18分钟,与此同时,可以完成切菜、准备佐料,节约4+4=8分钟;水烧开后,把开水灌到热水瓶中需要2分钟,同时烧热锅节约2分钟,再烧热油,需要2分钟,最后炒菜需要4分钟,此时饭已经煮好,据此设计所用的时间最少.
解:根据题干分析可得先洗水壶,需要2分钟→烧水需要15分钟(在烧水的15分钟内,可以同时淘米4分钟,淘米后,烧水还需要15﹣4=11分钟,同时用电饭锅煮饭需要18分钟,与此同时,可以完成切菜、准备佐料,节约4+4=8分钟)→水烧开后,把开水灌到热水瓶中需要2分钟(同时烧热锅节约2分钟)→再烧热油,需要2分钟→最后炒菜需要4分钟,此时饭已经煮好,
2+15+2+2+4=25(分钟)
答:最少需要25分钟.
12、
把一枚棋子放在图中左下角的方格内,甲、乙两人玩这样一个游戏:双方轮流移动棋子,只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动,一次可以移动任意多格.谁把棋子移到了右上角的方格中即为输,试问:如果甲先走,是否有必胜的策略,为什么?
甲首先走1格,乙直接到达最上端红格,甲不得不走到顶点;甲若首先走2格,则乙直接到达第2个红格,甲只能到达它旁边的三个格,然后乙到达第一个红格,甲不得不输;依此类推,只要乙跟在甲的后面控制这5个点,乙一定获胜.
试题分析:根据游戏规则,谁首先把棋子移到了右上角方格的下一个格,则另一人必须把棋子移到了右上角的方格中即为输,所以如果甲先走,则乙有必胜的策略.如下图所示,甲首先走,则乙跟着只要首先到达下面的五个点,无论怎么走甲都不可能一步到达右上角方格的下一个格,乙即可获胜.
解:甲首先走1格,乙直接到达最上端红格,甲不得不走到顶点;甲若首先走2格,则乙直接到达第2个红格,甲只能到达它旁边的三个格,然后乙到达第一个红格,甲不得不输;依此类推,只要乙跟在甲的后面控制这5个点,乙一定获胜.
13、
有十个村,座落大县城出发的一条公路上(如图,距离单位是千米),要安装水管,从县城送自来水供给各村,可以用粗细两种水管,粗管足够供应所有各村 用水,细管只能供一个村用水,粗管每千米要用8000元,细管每千米要用2000元,把粗管和细管适当搭配、互相连接,可以降低工程的总费用,按你认为最 节约的办法,费用应是多少?
414000元.
试题分析:设十个村分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10,在A7之后,粗管可以换成3根或更少根细管,费用将减少,在A6和A7之间,不论安粗管还是四条细管,花的钱一样多,在A6以前如果不安粗管安细管,需要5条以上的细管,费用将增加.因此,工程的设计是:从县城到A7(A6)安一条粗管;A7、A8之间安三条细管;A8、A9之间安二条细管;A9、A10之间安一条细管这样做,工程总费用最少.
解:如图,设十个村分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10,
工程的设计是:从县城到A7(A6)安一条粗管;A7、A8之间安三条细管;A8、A9之间安二条细管;A9、A10之间安一条细管这样做,工程总费用最少.
(30+5+2+4+2+3+2)×8000+(6+4+5)×2000=414000(元)
答:工程总费用最少为414000元.
14、
如图是某县的道路分布图.小唐要驾车从县城出发,经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次,并且最后回到县城.已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数,那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟?
330分钟.
试题分析:通过观察,发现与县城相连的五条路中,要选择相邻的两条走,经过比较可知:经过县城﹣乙﹣甲﹣戊﹣丁﹣丙(或相反路线),可以有最短时间,据此解答.
解:经过县城﹣乙﹣甲﹣戊﹣丁﹣丙(或相反路线),可以有最短时间,即:
20+80+60+20+100+50=330(分钟)
答:小唐完成计划的行程最少需要330分钟.
15、
如图,方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜.请问:谁有必胜策略,策略是什么?如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步,结果又如何呢?
甲有必胜的策略:从A到B,向右方向要走10步,向上走也要走10步,不论两人每次走1步还是走2步,不论每次是向上还是向右走,两人走的总步数一定是20步.而20÷3=6(组)…2(步),所以甲只要先走2步,然后将剩下的18步分成6个3步,当乙走1步时,甲走2步,当乙走2步时,甲走1步,从而在每个3步中,甲总能把握主动让乙先走,抢到每组的最后1步,照此走下去甲必胜.
试题分析:通过分析可知,从A到B,向右方向要走10步,向上走也要走10步,不论两人每次走1步还是走2步,不论每次是向上还是向右走,两人走的总步数一定是20步.而20÷3=6(组)…2(步),所以甲只要先走2步,然后将剩下的18步分成6个3步,当乙走1步时,甲走2步,当乙走2步时,甲走1步,从而在每个3步中,甲总能把握主动让乙先走,抢到每组的最后1步,照此走下去甲必胜,据此解答即可.
解:甲有必胜的策略:从A到B,向右方向要走10步,向上走也要走10步,不论两人每次走1步还是走2步,不论每次是向上还是向右走,两人走的总步数一定是20步.而20÷3=6(组)…2(步),所以甲只要先走2步,然后将剩下的18步分成6个3步,当乙走1步时,甲走2步,当乙走2步时,甲走1步,从而在每个3步中,甲总能把握主动让乙先走,抢到每组的最后1步,照此走下去甲必胜.
16、
北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台,这些车床准备分配给武汉11台、西安5台,每台车床的运费如图所示,单位为百元.那么总运费最少是多少元?
终点 起点 | 武汉 | 西安 |
北京 | 5 | 7 |
上海 | 7 | 10 |
10200元.
试题分析:北京、上海到西安的运费都比到武汉的高,此时,可以通过比较运输中的差价大小来决定最佳方案.
解:上表中第一行的差价为:7﹣5=2(百元),
第二行的差价为:10﹣7=3(百元),
说明从北京给西安多发1台车床要多付运费2百元,
而从上海给西安多发1台车床要多付运费3百元,
所以应尽量把北京的产品运往西安,而西安只要5台,
于是可知北京调往西安5台,其余5台调往武汉,
上海6台全部调往武汉,
总运费为:7×5+5×5+7×6
=35+25+42
=102(百元).
102百元=10200元
答:北京调往西安5台,其余5台调往武汉,上海6台全部调往武汉,总运费是10200元.
17、
如图是一张道路图,每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数.问:小悦从A出发走到B最快需要多少分钟?
18分钟.
试题分析:从A到B有很多条路可以选择,因此要抓住关键点C.从A到B的道路如果经过C点,那么,从A到C的道路中选一条最省时间的,即AGC;从C到B的道路中也选一条最省时间的,即CFB.因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的,即AGCFB.它的总时间是18分钟.
剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB,看那个更省时间.
不经过C点的道路只有两条:①ADHFB,它需要20分钟;②AGIEB,它也需要20分钟.
所以,从A到B最快需要18分钟.
解:要抓住关键点C.从A到B的道路如果经过C点,那么,从A到C的道路中选一条最省时间的,即AGC;
从C到B的道路中也选一条最省时间的,即CFB.
因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的,即AGCFB.
它的总时间是5+1+10+2=18(分钟).
剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB相比,看那个更省时间.
不经过C点的道路只有两条:①ADHFB,它需要4+6+8+2=20(分钟);
②AGIEB,它也需要5+3+4+8=20(分钟).
所以,从A到B最快需要18分钟.
答:小悦从A出发走到B最快需要18分钟.
18、
小杂货店里有一位售货员卖货,同时来了A、B、C、D、E五个顾客.A买糖果需要2分钟;B买大米需要6分钟;C买香烟和啤酒需要4分钟;D买水果需要3分钟;E买蔬菜需要5分钟.请问:售货员应该如何安排五个人的顺序,使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时间是多少?(只计算每个人排队的时间,不计算买东西的时间.)
按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最短,最短时间是30分钟.
试题分析:要使等候的时间最少,需要让用时最少的先买,即按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最少;这时当A先买时需要4人等候,当D买时需要3人等候,当C买时需要有2人等候,当E买时需要1人等候,当B买时无人等候,等侯时间的总和为:2×4+3×3+4×2+5×1=30(分钟),据此解答.
解:按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最短;
2×4+3×3+4×2+5×1=30(分钟)
答:按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最短,最短时间是30分钟.
19、
小悦中午做烧豆腐,共需要七道工序,每道工序的时间如下:切豆腐2分钟,切肉片2分钟,准备葱姜蒜3分钟,准备佐料1分钟,烧热锅2分钟,烧热油2分钟,炒菜4分钟.那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟?
12分钟.
试题分析:所有七道工序里,可以在烧热锅和烧热油的4分钟里切豆腐2分钟,切肉片2分钟,可以节约2+2=4分钟,由此即可解答.
解:根据题干分析可设计如下:
共有:3+1+2+2+4=12(分钟)
答:小悦烧好这道菜最短需要12分钟.
20、
甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币.规则是:每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜.如果甲先放,那么他怎样放才能取胜?
如果甲先放,他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处,以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币,这样才能取胜.
试题分析:我们用对称的思想来分析一下.圆是关于圆心对称的图形,若A是圆内除圆心外的任意一点,则圆内一定有一点B与A关于圆心对称(见右图,其中AO=OB).所以,圆内除圆心外,任意一点都有一个(关于圆心的)对称点.由此可以想到,只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处,以后无论乙将硬币放在何处,甲一定能找到与之对称的点放置硬币.也就是说,只要乙能放,甲就一定能放.最后无处可放硬币的必是乙.
解:甲的获胜策略是:
把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处,以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币.
答:如果甲先放,他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处,以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币,这样才能取胜.
21、
黑板上写有l,2,3,4,5,…,2009这些自然数,甲先乙后,两人轮流擦去一个自然数.如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同,那么甲就胜,否则乙胜.请问:谁有必胜的策略,具体的策略是怎样的?
甲将获胜.甲先擦去 1,再将剩下的数分组:(2,3)、(4,5)、(6,7)、…、(2008,2009)组中的两个数都是一奇一偶;接下来不论乙擦去哪个数,甲就擦去和这个数同一组的另一个数,则甲必胜.
试题分析:从1到2009共2009个数字,2009÷2=1004…1,所以有1004个偶数,1005个奇数,根据条件,要想使甲获胜,甲先擦去1,那么剩下2008个数字恰好是一奇一偶,乙擦去哪个数,甲就擦去与其同组的数即可获胜.
解:甲将获胜.甲先擦去 1,再将剩下的数分组:(2,3)、(4,5)、(6,7)、…、(2008,2009)组中的两个数都是一奇一偶;
接下来不论乙擦去哪个数,甲就擦去和这个数同一组的另一个数,则甲必胜.
答:甲有必胜的策略.
22、
有100根火柴,甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴,谁取到最后一根火柴谁输.甲先取.问:谁有必胜的策略?
甲
试题分析:因为甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴,那么两人所拿的数量之和一定可以保证是5根,100÷5=20,所以甲先拿4根,还剩96根,乙开始拿,甲拿的和乙的和是5即可,因为96÷5=19…1,所以最后一定剩下1根是乙必须拿的,故此甲有必胜的把握.
解:根据题意可知:
两人所拿的数量之和一定可以保证是5根,
甲先拿4根,
100﹣4=96(根)
96÷5=19…1,
甲先拿,只要乙保证每次拿的和甲的和是5根,那么最后一根一定是乙拿的,
故此甲有必胜的把握.
答:甲有必胜的把握.
23、
甲、乙两人玩一个游戏:有两堆小球,甲、乙两人轮流从中取球,每次只能从同一堆中取,个数不为零即可,规定取到最后一个球的人赢,现在甲先取球.
(1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个,那么谁有必胜策略?请说明理由;
(2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个,那么谁有必胜策略?请说明理由;
(3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个,那么谁有必胜策略?请说明理由.
(1)如果甲先拿其中一堆的一个,乙拿另一堆的一个,无论甲怎么拿,乙一定胜;如果甲拿走一堆,那么乙就拿另一堆,所以还是乙胜利;
(2)甲先从3个一堆中拿2个,无论乙怎么拿,甲必胜;
(3)甲先拿其中一堆,把那一堆拿得只剩下一个;如果乙把这一个拿走,那再把另一堆拿得只剩下一个就好了;如果乙把另一堆拿得只剩下一个,那乙可以说无论如何也赢不了了.如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿,甲把另一堆全拿走就可以了.
试题分析:(1)如果甲先拿其中一堆的一个,乙拿另一堆的一个,无论甲怎么拿,乙一定胜;
如果甲拿走一堆,那么乙就拿另一堆,所以还是乙胜利;
(2)(3)其中一堆,把那一堆拿得只剩下一个;如果乙把这一个拿走,那再把另一堆拿得只剩下一个就好了;如果乙把另一堆拿得只剩下一个,那乙可以说无论如何也赢不了了.如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿,甲把另一堆全拿走就可以了.
解:(1)如果甲先拿其中一堆的一个,乙拿另一堆的一个,无论甲怎么拿,乙一定胜;
如果甲拿走一堆,那么乙就拿另一堆,所以还是乙胜利;
(2)甲先从3个一堆中拿2个,无论乙怎么拿,甲必胜;
(3)甲先拿其中一堆,把那一堆拿得只剩下一个;如果乙把这一个拿走,那再把另一堆拿得只剩下一个就好了;如果乙把另一堆拿得只剩下一个,那乙可以说无论如何也赢不了了.如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿,甲把另一堆全拿走就可以了.
24、
现有2008根火柴,甲、乙两个人轮流从中取出火柴.每次最少从中取出2根,最多取出4根.谁无法再次取出火柴谁就赢.如果甲先取,请问谁有必胜的策略?
甲
试题分析:因每次最少拿2,最多拿4,所以两人每次最多只能取2+4=6,2008÷6=334(次)…4(个),只要甲先取4个,然后再看乙每次取几个,只要每次与乙所取火柴数的和满足是6,甲就能取胜.
解:2008÷(2+4)
=2008÷6
=334(次)…4(个);
只要甲先取4根,然后再看看乙每次取几根,只要每次与乙所取火柴数满足是6,甲就能取胜.
25、
有12枚棋子,甲、乙两人轮流取,规定每次至少取1枚,最多取3枚,以取走最后一枚棋子者为胜者.如果甲先取,那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者,并且仍然是甲先取,那么谁有必胜策略?
甲
试题分析:①通过分析可知,因为每人每次可取1根2根或3根,所以只要甲先拿3根,乙无论再是拿1根、2根还是3根,甲再拿时,拿的根数和乙的根数和起来是4,则保证甲获胜.
②因为1+1=2,1+2=3,1+3=4,2,3,4都是12的因数,只要甲总是取一个,无论乙怎么取,最后一个一定是乙取的,所以甲必胜.
解:①因为,12÷4=3,
所以,甲先拿3根,乙如果拿1根,甲就拿3根;乙如果拿2根,甲就拿2根;乙如果拿3根,甲就拿1根;
即甲再拿时拿的根数和乙的根数和起来是4,
所以,甲一定取到最后一枚棋子而获胜.
②因为1+1=2,1+2=3,1+3=4,
而2,3,4都是12的因数,
只要甲总是取一个,无论乙怎么取,最后一个一定是乙取的,所以甲必胜.
26、
甲拿若干枚黑棋子,乙拿若干枚白棋子,他们轮流向如图的3×3的方格中放棋子,每次放1枚,谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可),谁就获胜.如果甲首先占据了中问位置,乙要想不败,第1枚棋子应该放在哪里?
乙要想不败,第1枚棋子应该放在角上.
试题分析:如果甲首先占据了中间位置,乙要想不败,就要最大可能的阻止甲的三枚棋子不能横、竖、斜成一条直线,这样乙要把棋子放在能使横、竖、斜都是的公共点上,这样的点是角上.据此解答.
解:要最大可能的阻止甲的三枚棋子不能横、竖、斜成一条直线,这样乙要把棋子放在能使横、竖、斜都是的公共点上,这样的点是角上的点.然后甲下在一个位置,乙下一枚棋子堵住其3枚连成一条直线即可.
答:乙要想不败,第1枚棋子应该放在角上.
27、
西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的,不拆开零售.已知5个一袋的售价是8元,3个一袋的售价是5元,要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?
76元钱.
试题分析:5个一袋的每袋8元,则每个8÷5=1.6元,3个一袋的每袋5元,则每个5÷3≈1.67元,即每袋五个的每个的单价较便宜.由于不能打零售,因此应尽量两种包装搭配正好为47个,且尽量多买每袋5个的最省钱;由于47=35+12=5×7+3×4,因此买7袋五个的,4袋3个的最省钱,需花8×7+5×4=76元.
解:8÷5=1.6元,5÷3≈1.67元,每袋5个的每个的单价较便宜.
所以尽量两种包装搭配正好为47个,且尽量多买每袋5个的最省钱;
由于47=35+12=5×7+3×4
因此买7袋5个的,4袋3个的最省钱,
需花8×7+5×4=76(元).
答:买7袋5个的,4袋3个的最省钱;共用76元钱.
28、
理发店里同时来了A、B、C三个顾客,A理板寸需要7分钟,B理光头需要10分钟,C烫卷发需要40分钟.请问:如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?
先理用时少的,最后理用时最多的顾客,等待时间的总和最少,等待总时间最少81分钟.
试题分析:要顾客等待时间的总和最少,应先安排用时少的先理,即先给A理板寸用时7分钟的,再给B理光头用时10分钟的,最后给C烫卷发用时40分钟,则第一人用时7分钟,第二人等待7+10分钟,第三人等待7+10+40分钟由此计算出等待总时间即可.
解:要使这三位顾客等待时间的总和最少,
应先理用时7分钟的,再理用时10分钟的,最后理用时40分钟的;
等待的总时间为:
7+(7+10)+(7+10+40)
=7+17+57
=81(分钟)
答:先理用时少的,最后理用时最多的顾客,等待时间的总和最少,等待总时间最少81分钟.