更新时间:2024-04-28 04:11:30
1、
在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【考点】
【答案】
(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)由题意及图可得,先由条件证得,再根据,再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直;(2)解法一:由(1)知,,可得出,结合平面,知两两垂直,因此可以为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,不妨设,表示出各点的坐标,再求出两个平面的法向量的坐标,即可由公式求出二面角的余弦值;解法二:取的中点,连接,由于,因此,又平面,平面,可证明出为二面角的平面角,再解三角形即可求出二面角的余弦值.
试题解析:(1)因为四边形是等腰梯形,,
,所以.
又,所以,
因此,,
又,且,平面,
所以平面.
(2)解法一:由(1)知,所以
又平面,因此两两垂直,以为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则,,,
因此,
设平面的法向量为
由于,取,则,
由于是平面的一个法向量,则
所以二面角的余弦值为.
解法二:如图,取的中点,连接
由于,因此,
又平面,平面,
所以,
由于,平面,
所以平面,故,所以为二面角的平面角
在等腰三角形中,由于,
因此,
又,所以,
故,因此二面角的余弦值为.
题型:解答题
题类:
难度:一般
组卷次数:0
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